|
|
Русское Философское Общество им Н. Н. Страхова Общественный Совет
журнала
ФИЛОСОФСКАЯ КУЛЬТУРА
Журнал русской интеллигенции
№ 2
июль –
декабрь 2005, Санкт-Петербург
МАТЕМАТИКА И МЕТАФИЗИКА
(из «Положительных задач философии»)
Математические истины
Было время, когда на {вопрос о характере математических истин} отвечали
довольно единодушно представители самых противоположных направлений [1].
Локк (книга IV, гл. IV, XI его "Опыта") говорит: "Со мною без труда
согласятся, что познание, которое мы в состоянии иметь о математических
истинах, есть не только познание достоверное, но и реальное, что это не
простые призраки и химеры мозга, плодовитого в создании пустых фантазий. Тем
не менее, внимательно рассматривая дело, мы найдем, что все это познание
опирается исключительно на наши собственные идеи. Математик исследует
истинную природу и свойства, принадлежащие прямоугольнику или кругу,
рассматривая их лишь такими, каковы они в своей идее в его уме; ибо
возможно, что во всю свою жизнь он никогда не встречал этих фигур, так чтобы
они были истинны математически, т. е. вполне точно отвечали бы нашим
определениям. Но это нисколько не мешает тому, что знание, которое он имеет
о какой-нибудь истине или свойствах, относящихся к кругу или ко всякой
другой математической фигуре, правильно и достоверно даже в отношении к
реально существующим предметам, потому что реальные вещи входят в этот
разряд предложений и рассматриваются в них лишь настолько, насколько они
совпадают с своими первообразами в уме математика… В этом случае наше
познание есть следствие идей, которые существуют в нашем уме и порождают
всеобщие и достоверные предложения. Большая часть таких предложений носит
название вечных истин; и в самом деле они все таковы… эти предложения
называются вечными истинами не потому, чтобы они были образованы от века и
предсуществовали пониманию, а также не потому, чтоб они являлись
напечатленными в уме по образцу, находящемуся вне ума и данному заранее; но
составленные об отвлеченных идеях и выражая о них истину, они не могут не
быть всегда достоверными,– в какое бы то ни было время, в прошлом и будущем,
лишь бы они образовались в уме, обладающем идеями, из которых эти
предложения составлены… Так как одни и те же идеи постоянно находятся в тех
же самых отношениях, – очевидно, что предложения, образованные об
отвлеченных идеях, будучи истинны однажды, должны быть вечными истинами"
[2].
Лейбниц, отождествляя Локково разделение между предложениями о существовании
вещей и предложениями о зависимости идей с своим различением суждений на
предложения фактические и предложения разума, рассуждает так: "Фактические
предложения так же могут стать некоторым образом всеобщими, но это возможно
только с помощью наведения [3] или наблюдения; это значит, что мы имеем лишь
множественность подобных фактов, как например, когда мы наблюдаем, что
всякая ртуть под влиянием огня испаряется; но в них нет всеобщности
настоящей, потому что мы совершенно не усматриваем ее внутренней
необходимости. Всеобщие предложения разума необходимы, хотя разум доставляет
и некоторые такие, которые не имеют всеобщности безусловной, а только
вероятны, напр. когда мы предполагаем, что идея возможна, пока более
тщательный анализ не откроет противоположного… Что касается истин вечных, –
надо заметить, что в основе своей они все условны и в сущности утверждают
только: если известная вещь предположена, данная вещь существует также.
[….] Но спросят, в чем же коренится эта связь, потому что ведь в ней
заключается безошибочная реальность? Ответом будет, что она лежит во
внутреннем соотношении идей. Однако возразят: где находились бы эти идеи,
если б не существовало никакого разума, и во что обратилось бы в таком
случае реальное основание достоверности вечных истин? Здесь мы приходим к
последнему источнику истин – к тому верховному и всеобщему духу, небытие
которого невозможно и разум которого есть подлинная область вечных истин,
как это признал и энергически высказал блаж. Августин [4]. И пусть не
думают, что нет неизбежности прибегать к подобному предположению, – надо
понять, что эти необходимые истины содержат определяющий смысл и
регулятивный принцип реальных существований,– одним словом, они выражают
законы вселенной."1
Юм в своем "Исследовании о человеческом уме" говорит: "Все предметы
человеческого мышления и исследования по природе своей распадаются на два
класса: на отношения идей и на факты. К первому классу принадлежат познания
геометрические, алгебраические и арифметические, – одним словом, каждое
положение, достоверность которого наглядна или доказуема. [….] Положения
этой категории могут открываться чистою деятельностью мысли вне всякой
зависимости от какого-нибудь данного существования в реальном мире. Если бы
круга и треугольника никогда даже и не существовало в природе, – все-таки
истины, изложенные Эвклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и
доказательную силу" [6].
Единодушие мыслителей столь противоположного склада ума и столь различных
миросозерцаний в решении вопроса о внутренних условиях очевидности
математических истин является весьма поучительным: мне кажется, оно с полною
наглядностью обнаруживает, какой именно путь прежде всего представляется для
всякого непредубежденного ума при рассмотрении этой важной проблемы. И
действительно, как иначе объяснить глубоко сознаваемую нами необходимость и
всеобщность математических утверждений? Могли ли бы мы что-нибудь знать о
ней, если бы отношение сказуемого к подлежащему в основных математических
суждениях, от которых зависят все остальные, не усматривалось с
непосредственною очевидностью? И с другой стороны такая само-очевидность
могла ли бы стать критерием истинности утверждаемого, если бы в математике
познаваемый предмет всецело не совпадал для нашего ума с тою идеею, которую
мы о нем имеем? [….] Почему же в математической науке очевидность прямого
усмотрения имеет такой решающий смысл? Казалось бы, на этот вопрос не может
быть двух разных ответов.
Но если взглянем на него несколько иначе, если сопоставим его решения у
великих представителей прежней философии с распространенными взглядами на
эмпирическое происхождение человеческого сознания, мы поймем, как мало
вяжется учение о чистой идеальности математических утверждений с самыми
коренными посылками эмпиризма. Как странно, в самом деле, звучит у Юма это
признание чистой деятельности мысли, открывающей математические истины,
которые сохранили бы свою достоверность и в том случае, если б в мире,
подлежащем нашему опыту, не было бы ничего им соответствующего, – у того
самого Юма, который все содержание сознания полагал в опытных впечатлениях и
их воспроизведении, а все процессы умственного творчества сводил к простому
механизму ассоциаций между идеями по их непосредственно-ощутимым признакам.
Ведь совершенно ясно, что два эти воззрения рядом ужиться не могут. Или все
акты мысли суть результат случайного сцепления представлений, – тогда всё в
них должно носить печать субъективности и личной ограниченности; говорить о
сверхъопытной достоверности наших познаний уже нельзя; или, наоборот,
математические истины действительно от опыта независимы и над ним
возвышаются, выражая неизменные отношения некоторых весьма общих признаков
вещей,– тогда объяснение операций разума из одной перестановки пережитых
ощущений оказывается весьма сомнительным; самый скептицизм Юма тогда теряет
почву и становится проблематическим; ведь тогда действительность явится
всецело непознаваемою лишь при том условии, что она совсем не подлежит
определениям величины, числа, вообще какой бы то ни было множественности, –
иначе она будет доступна для нашего ума с своей хотя бы чисто-формальной
стороны. А как доказать, что она не должна содержать этих определений?
Поэтому эмпирическая философия в своем дальнейшем развитии не могла в
рассматриваемом вопросе остановиться на выводах Локка и Юма, ибо они вносили
непримиримую двойственность в ее общее миро-созерцание; в ней должна была
возникнуть попытка привести истины математики к уровню индуктивных
обобщений, которые, с этой точки зрения, представляются единственным
источником всякой всеобщности утверждений человеческого знания. В этом
отношении она своего типического замечательно остроумного толкователя, как и
во всех других принципиальных пунктах эмпирического мировоззрения, нашла в
лице Дж. Ст. Милля. В своей логике2 Милль выступает находчивым и тонким
защитником следующих общих положений: приписываемый математическим истинам
характер особенной достоверности есть только мечта; все математические науки
суть науки индуктивные, и доказательства их в последнем основании опираются
на опыт. Подлинная необходимость в математике принадлежит выводам из первых
начал, т. е. аксиом и определений, поскольку эти последние признаны нами. Но
самые первые начала содержат в себе только обобщения нашего опыта. Аксиомы
суть чисто индуктивные истины, вызываемые в нашем уме постоянным
единообразием наблюдений в области количественных соотношений предметов;
кажущаяся умозрительная очевидность аксиом зависит исключительно от того,
что для усмотрения их достоверности опыт воображения вполне заменяет опыт
действительный. [….]
Поэтому можно сказать, что науки математические суть науки гипотетические…
{Однако}как и всякое другое индуктивное знание, математика имеет дело с
явлениями реального опыта. Геометрия, например, рассматривает те линии, углы
и фигуры, которые действительно существуют; наша идея о точке есть только
представление о минимуме видимого. [….] Наше определение круга истинно о
каждом отдельном круге не вполне, а только приблизительно; но оно так близко
к истине, что мы не совершим важной ошибки, приняв его за полную истину.
Такова знаменитая теория Милля, которая до сих пор имеет многочисленных и
горячих защитников. Бесспорно, Милль сделал все от него зависящее, чтобы
придать ей вид правдоподобный и убедительный. Но если вдумаемся в нее
внимательнее, едва ли ускользнет от нас произвольность, шаткость, даже
противоречивость ее оснований. Самые существенные пункты в ней, вместо
всестороннего рассмотрения, лишь искусно обойдены. Сюда, прежде всего,
конечно, относится вопрос о том, как в математике акт прямого усмотрения или
опыт воображения может заменять опыт действительный, и мирится ли такое
свойство математики с представлениями о ней как знании индуктивном? [….]
{Прежде всего} в самой возможности возмещать опыт реальный опытом мысленным
лежит уже ясное доказательство не индуктивного происхождения математических
истин. Еще убедительнее обнаружится для нас их сверхъопытная природа, когда
сопоставим их содержание с тем, что по самой сущности индуктивного метода
является единственным предметом эмпирических обобщений. С чем суждено иметь
дело всякому индуктивному знанию? [….] Индуктивные обобщения могут
относиться только к наблюдаемым фактам и утверждать их совместность или
последовательность. И вот, если мы внимательно всмотримся в выводы
математических наук, мы скоро заметим, что в них никогда не идет речь ни о
наблюдаемых явлениях, ни о фактической наличности каких-либо форм их
последовательности и сосуществования.
1. Математика вовсе не изучает явлений реального мира, как таковых, она
имеет дело с чисто-идеальными построениями. [….]
[….] Математические науки не имеют дела с какими-нибудь частными явлениями в
их непонятной для внешнего наблюдателя сложности и запутанности, – они
отправляются от предположений, реальное значение которых обладает
непосредственной очевидностью. Понятия о пространстве, времени, величине,
количестве и т. п., – вот единственно, что нужно допустить, чтобы математика
не была фантастическою игрою в субъективные создания нашего рассудка. А что
пространство, множественность, количественная определенность составляют
принадлежность, по крайней мере, того феноменального мира, в котором мы
живем и действуем, – это есть истина, в которой никакое серьезное сомнение
невозможно. Если угодно, она дается опытом, но таким, который не нуждается в
индуктивных методах исследования и поверки, – он доставляется каждым актом
нашего бытия, и при нем нет места для различий в толковании. При этом
математика изучает количественные формы не в их эмпирической случайности
(что сразу убило бы устойчивость ее выводов); она творчески строит идеальные
типы количественных отношений, она отправляется от упрощенных, предельных
понятий того, что мыслимо в количественном бытии, взятом отвлеченно от его
конкретного содержания. [….] Для этих построений нет полного соответствия в
природе, но формы и отношения природы в большей или меньшей мере к ним
приближаются. Поэтому наши математические заключения получают совершенно
реальный смысл, как выражение действительно типичных отношений явлений
природы по их количественным свойствам. Но они не обнимают самых этих
явлений в их случайном разнообразии.
2. Не менее ясно и то, что в математических истинах никогда не утверждается
последовательность и сосуществование явлений, в чем состоит второй пункт
различия математики от наук индуктивных. […]
{Еще более} важное отличие математических выводов от обобщений индукции
заключается в следующем: то, что в индуктивном процессе познания
представляет единственный прямой предмет доказательства, в математических
рассуждениях предполагается заранее данным; наоборот, то, что индуктивной
поверке никак не подчиняется, – внутренняя необходимость и безусловная
всеобщность отношений в предложенном содержании, – это одно и является целью
доказательств в математических науках. [….]
Лейбниц был глубоко прав, когда называл вечные истины условными, хотя с
первого взгляда эти два определения между собою мало вяжутся: математика
рассматривает безусловно всеобщие и безусловно необходимые соотношения между
признаками величин, но только потому, что предмет исследования она берет
условно, предположительно, лишь в пределах допущенных свойств.
Итак, не явления и не их эмпирически данные отношения составляют подлинное
содержание математики. Этому нисколько не противоречит тот факт, что в
явлениях природы и их следовании и сосуществовании математические истины
выражаются. [….]
[….].. Милль справедливо указал, что коренная особенность математики состоит
в возможности заменять опыт действительный опытом воображения. Но к этому
замечанию надобно сделать важное добавление: эта замена не только возможна,
она необходима; математика получает начало лишь после её совершения. Чтобы
знать какую-нибудь аксиому в ее всеобщей необходимости, нужно понимать
внутреннюю связь входящих в нее терминов, а это достигается не внешним
наблюдением (которое вообще никаких внутренних связей не открывает, как
превосходно показал еще Юм), а только мысленным усмотрением. Опыт может
доставить наглядный материал для математических построений, он может явиться
поводом для отвлеченного усвоения математических отношений; но материал и
повод все же никак нельзя отождествлять с тем, чтó из них слагается
окончательно, благодаря самобытному творческому воздействию нашего разума.
[….] Таким образом, математические истины не возникают из индуктивных
обобщений, – их происхождение умозрительное, обусловленное творческими
построениями и прямым усмотрением нашего ума; они не могут и видоизменяться
в своем содержании под влиянием новых опытов. [….] В них мы имеем
утверждения чисто идеального порядка; и тем не менее они обладают бесспорным
реальным значением: математика обнимает и безусловно предупреждает мир
возможного опыта в его количественных отношениях и законах. Этим ли только
ограничивается ее роль? Область применения ее выводов, по-видимому, должна
быть еще гораздо шире, если допустим, что кроме состояний нашего сознания,
на свете существуют и другие вещи, от нас независимые, и если мы сочтем
возможным приписать этим вещам какую-нибудь множественность. Если верно, что
математика изучает возможные количественные свойства отвлеченно от всякого
частного эмпирического содержания, если очевидность исследуемых в ней
отношений не есть психологическая иллюзия, вся бесконечность вселенной
должна быть открыта для нее, по крайней мере, в ее количественных
отношениях. Математика есть подлинное знание объективной действительности,
если только такая действительность существует.
Вундт говорит: "Математика везде представляет наглядные выражения стремления
разума, отправляясь от опыта, переходить все границы опыта. И в
трансцендентных умозрениях математики можно видеть не только пример, но и
убедительное свидетельство правомерности такого стремления. Никто не станет
у мышления оспаривать права, исходя из данных понятий, распространять выводы
так далеко, как то позволяет связь следствий с принятыми основаниями… Нужно
признать, что математика являет в себе лишь наиболее очевидный пример
сродного уму движения к трансцендентному, и нет никакого смысла стремление
разума к единству и бесконечности рассматривать как специально
математическую особенность"3.
В математике мы уже имеем метафизическое (объективно-действительное)
содержание знания, если только что-нибудь метафизическое обладает
реальностью и как-нибудь подлежит количественным определениям. В процессах
математического умозрения наша мысль, претворяя случайный эмпирический
материал чувственных наблюдений, возвышается над их непосредственно данными
признаками и создает идеальные концепции типических законов, которые, по
своему всеобщему характеру, никаким опытом не исчерпываются и не
ограничиваются, – область которых простирается в бесконечность, если только
существует бесконечность. В этом состоит великое философское значение
математических познаний; в них представляется непоколебимый пример огромного
могущества отвлекающей силы нашего ума, которая чувственное и субъективное
превращает в умопостигаемое и свободное от наших личных условий наблюдения,
которая в существующем только для нас овладевает тем, что есть для всех и
повсюду. В них мы имеем и красноречивое доказательство той истины, что для
ограничения сферы познаваемого пределами мира чувственных явлений,
недостаточно признать психологическое происхождение наших идеальных
построений из опытного источника. Для этого нужно нечто большее: ведь
отправляться от чувственного материала не значит еще навсегда при нем и
остаться. [….].
Но что же? Только ли в одной математике стремление разума к трансцендентному
получает свое законное удовлетворение, порождая во всех других случаях лишь
иллюзии? Или прав был Вундт, когда утверждал, что правомерность этого
стремления не составляет специального достояния математических наук? Наша
мысль способна ли постигать сверхъопытные истины только о количествах,
будучи осуждена на вечную неизвестность и бессильные противоречия с собою во
всех вопросах о существовании и качествах независимой от наших восприятий
действительности? Неужели даже вопрос о том, существует ли что-нибудь вне
нашего сознания, никакого вероятного рационального решения не допускает – ни
в какую сторону? А если он допускает положительный ответ, неужели в этой
сфере нельзя установить никаких различий в степени вероятности между
отдельными мыслимыми предположениями? Или, может быть, наши математические
познания имеют совсем особенный источник, для которого нет никакой аналогии
в происхождении наших суждений о бытии, качествах и внутренней причинности
вещей?
Этот последний взгляд имел великого защитника в лице Канта и до сих пор
является очень распространенным среди его многочисленных последователей.
Коренную задачу "Критики чистого разума" составляет оправдание тезиса,
который можно выразить так: от математики нельзя делать заключения к
метафизике.
Теория математических познаний Канта.
Определяя особенную природу математических истин, Кант исходит из
различения всех суждений нашего ума на два разряда: на суждения
аналитические и синтетические. Он формулирует его следующим образом: "В
суждениях сказуемое В или относится к подлежащему А, как нечто содержащееся
в этом понятии А (скрытым образом); или В стоит совсем вне понятия А, хотя и
находится с ним в связи. В первом случае я называю суждение аналитическим,
во втором – синтетическим. Итак, аналитические суждения (утвердительные)
суть такие, в которых связь сказуемого с подлежащим мыслится на основании
тождества; напротив те, в которых эта связь полагается помимо тождества,
должны называться синтетическими. Первые можно также назвать объясняющими,
вторые расширяющими суждениями: потому что аналитические суждения через
сказуемое ничего не прибавляют к понятию подлежащего, а только посредством
расчленения разделяют его на составные понятия, которые уже подразумевались
в нем (хотя и смутно); наоборот, синтетические суждения присоединяют к
понятию подлежащего такое сказуемое, которое в нем совсем не мыслилось и
никаким разделением из него извлечено быть не могло. Например, когда я
говорю: все тела протяженны, – это суждение аналитическое. Потому что мне не
нужно выходить из пределов понятия, которое я соединяю с телом, чтобы найти
признак протяжения, как связанный с ним, для этого достаточно расчленить это
понятие, то есть сознать то разнообразное, которое я постоянно в нем мыслю,
и указанное сказуемое будет мною усмотрено… Напротив, если я скажу: все тела
обладают тяжестью, сказуемое будет представлять нечто совсем другое, чем то,
что вообще мыслится в простом понятии тела. Итак присоединение такого
сказуемого порождает синтетическое суждение."4
При различии так установленном, совершенно понятно, что все суждения,
опирающиеся на опыт, имеют характер синтетический: для образования
аналитических суждений в опыте нет нужды; для этого довольно простого
рассмотрения понятия о подлежащем в тех признаках, которые с очевидностью в
нем заключаются. [….]. Поэтому суждение: "тела протяженны" предупреждает для
нас всякий опыт, – оно есть суждение a priori. Напротив, я могу как угодно
дробить и расчленять понятие о теле, и все-таки в его прямо усматриваемом
содержании я не натолкнусь на признак тяжести. Для этого я должен бросить
логический анализ и прибегнуть к помощи опыта; только он может научить меня,
что свойство тяжести присуще телам рядом с протяженностью, непроницаемостью,
фигурою и другими признаками, выводимыми аналитически.
Из этих двух видов суждений, куда принадлежат математические истины?
Коренная своеобразность Канта, сравнительно с его предшественниками, состоит
в том, что для него эти истины всецело относятся к разряду синтетических
утверждений. Кант понимает, что такой взгляд может вызвать серьезные
недоумения, но он думает, что в основании мнения противоположного лежит
смешение процессов математического выведения с возникновением математических
основоположений. Что математические выводы приобретаются в силу закона
противоречия, это совершенно верно; но из этого никак не следует, чтоб и
основоположения математики получались чрез приложения закона противоречия к
математическим понятиям. Если б дело было так, математика не научала бы нас
никаким новым истинам, во всех ее заключениях мы имели бы простое изложение
того, что всегда содержалось в нашем уме. Только благодаря тому, что
математика пользуется законом противоречия для сопоставления суждений
синтетических, она достигает открытий. [….]
Итак математика состоит из положений синтетических. Можно ли ради этого
приписать им эмпирическое происхождение? Можно ли думать, что содержание их
вызвано в нашем уме внешним и внутренним опытом?
Этому решительно противоречит всеобщность и необходимость математических
истин. Обобщения опыта никогда не имеют всеобщности истинной и строгой; он
способен доставить выводами из него только всеобщность предположительную и
сравнительную. В каждом данном случае индукция уполномочивает нас только на
следующее утверждение: насколько мы наблюдали до сих пор, то или другое
правило не имеет исключений. Больше этого мы сказать не в праве.
Эмпирическая все-общность есть в сущности преувеличение достоверности
суждений: от многих случаев мы заключаем ко всем. Подобное же замечание
можно сделать о необходимости наших суждений: опыт научает нас, что
какая-нибудь вещь обладает известными свойствами; но он не в состоянии
раскрыть нам того, что она и не может быть иною.5
Поэтому, если какие-нибудь суждения выражают истины доподлинно всеобщие и
необходимые, они не получаются из опыта и от него не зависят, а напротив
всякий опыт предупреждают; они суть суждения a priori. Но всеобщность и
необходимость математических истин не может подлежать никакому сомнению;
итак, математика состоит из синтетических утверждений a priori. Но как же
возможно это? Ведь достоверность математических положений усматривается нами
только помощью воззрения. Совершенно очевидно, если математика содержит
истины, опыт предупреждающие, то и воззрения, с которыми она обращается,
должны предупреждать опыт, не могут от него зависеть и им вызываться.
Существуют ли такие a priori данные представления в нашем уме? По Канту, мы
обладаем их постоянным источником в чистых формах всяких чувственных
воззрений вообще, – пространстве и времени.
Первоначальное представление о пространстве есть воззрение a priori,
вытекающее из присущего нашему духу свойства все внешнее воспринимать как
протяженное. Всякое иное объяснение его природы оказывается несостоятельным
и ведет к противоречиям. В пространстве нельзя видеть эмпирическое понятие,
отвлекаемое от внешнего опыта; чтобы я какие-нибудь ощущения отнес к тому,
что находится вне меня (то есть в другом месте, чем я), или чтобы я
представлял различные ощутимые предметы рядом и в разных местах, для всяких
подобных действий представление о пространстве должно быть дано во мне
предварительно. Оно не может быть порождением внешнего опыта, когда сам
внешний опыт впервые возможен через представление о пространстве. Именно
поэтому пространство есть представление необходимое, от которого наша мысль
никогда не может отделаться. Мы никак не можем вообразить себе, что
пространства нет, хотя в состоянии мыслить, что в нем не находится никаких
предметов. Пространство для нас есть условие явлений, а не их признак или
неотделимое от них свойство.
Точно так же пространство нельзя рассматривать как дискурсивное или общее
понятие об отношениях вещей, – оно есть чистое воззрение [11]. Мы можем
представить себе только одно пространство; если и говорится иногда о многих
пространствах, но при этом разумеются лишь части одного. И эти части не
предшествуют одному, все в себе содержащему пространству, как его составные
элементы, из которых оно слагается, – они только в нем мыслятся.
Пространство существенно едино, – всякое разнообразие в нем, а поэтому и
отвлеченное понятие о пространствах вообще основывается только на том, что
мы его ограничиваем. Чистое воззрение пространства предшествует всем
понятиям о нем; оно является внутренним условием и всех геометрических
истин. Подтверждение невозможности отождествить познаваемое нами
пространство с отвлеченным понятием находим в том факте, что мы его
представляем как бесконечную величину. Между тем, хотя каждое понятие и
можно смыслить как некоторое представление, которое заключается в
бесчисленном множестве других представлений (как их общий признак), и
поэтому содержит их под собою; но ни одно понятие как таковое не может быть
мыслимо содержащим бесконечное множество представлений в себе (как части). А
пространство мыслится именно так. 6
Совершенно подобные доказательства Кант приводит и относительно времени 7, –
оно также есть чистое, безусловно необходимое представление нашего ума.
Между тем в основе всех наших идей о величинах и количествах лежат
представления о времени и пространстве8. Итак математические истины,
вырастая на неизменном, необходимом, на всем отпечатлевающемся материале
нашей мысли (потому что мы всё воспринимаем в пространстве и времени), сами
должны обладать необходимостью и всеобщностью.
Объяснение Канта процессов математического познания пользуется едва ли не
большею популярностью, нежели все другие его теории. Однако и в нем
замечается недостаток, который отличает вообще философскую систему Канта:
при изумительной силе построительного гения у ее творца, она поражает слабою
обоснованностью своих исходных положений. Однажды допустив их, нельзя не
оценить глубокомыслия, с которым делаются все дальнейшие выводы,
чрезвычайной оригинальности, с которою они сопоставляются и связываются
между собою. Но чтоб согласиться с этими исходными утверждениями Кантовского
миросозерцания, часто приходится закрывать глаза на такие недоумения,
которые слишком явны, чтобы их совсем не видеть. Кантова теория
происхождения математических истин не представляет в этом случае исключения.
В основу этой теории кладется различие между аналитическими и синтетическими
суждениями. Это обстоятельство с самого начала дает ей облик довольно
туманный: противоположность синтеза и анализа составляет одно из самых
двусмысленных, шатких и условных различений в логике. [….] Является
неизбежный вопрос: точно ли этим делением исчерпываются все виды
человеческих суждений? Точно ли для каждого акта нашего ума предстоит
альтернатива или утверждать уже известное раньше, или влачиться за
указаниями, внешними нашей мысли? Вопрос очень важен и в логическом и в
психологическом отношении. Между тем Кант не только его не разрешил, но даже
и не пробовал приступить к его разрешению. [….] {Не исчерпываются этим
делением, например}, суждения, выражающие сравнение или вообще сопоставление
между понятиями. Высказываемые в таких суждениях признаки, в виду их
неизбежной относительности, не подразумевались ни смутно, ни отчетливо
раньше, чем понятия были сопоставлены; итак, в этих признаках для нашей
мысли дается нечто новое, совсем не бывшее в ней прежде. [….].. Значение
суждений этого разряда представляется тем более серьезным, что утверждения
математики в последнем основании опираются на сопоставление мыслимых
количественных определений между собою.
Таким образом, признаваемая Кантом крайняя противоположность между
аналитическими и синтетическими суждениями не может быть логически
оправдана; она не помогает ему и совершенно устранить ту шаткость, которая
преследует обыкновенные понятия о синтезе и анализе. [….]..
Главное доказательство синтетического происхождения математических истин
Кант видит в неизбежном участии воззрения (die Anschauung [15]) при их
обосновании и понимании. Этому аргументу можно было бы приписать решающее
значение лишь в том случае, если бы было предварительно показано, что в
аналитических суждениях этот воззрительный или созерцательный элемент, как
внутреннее условие их возможности, отсутствует совсем. Кант думает, что в
математических положениях выводы делаются не из понятий, а из воззрений.
Чтобы такое заключение было вразумительным, следовало бы установить строгое
различие между понятиями с их логическою необходимостью и воззрениями в их
наглядной связи; и прежде всего показать, что понятие и воззрение в каждой
данной концепции представляют осязательно различные и существенно раздельные
составные части мыслимого нами содержания; так что в каждом данном случае мы
можем заметить, где кончается воззрение и начинается понятие или наоборот, а
поэтому легко можем определить, что принадлежит понятию помимо воззрения и
что принадлежит воззрению помимо понятия. Такого коренного обоснования своих
взглядов на синтетическую природу математических истин Кант нигде не дает с
желательною психологическою обстоятельностью.9 Между тем можно сильно
подозревать, что такого изначального дуализма понятий и воззрений в
непосредственно мыслимом нами содержании не существует вовсе. [….]…
По-видимому, Кант пытается ограничить аналитическое выводимое пределами тех
определений, которые понятиям даются, т. е. теми признаками, которые в
определении прямо указаны. …[….].
Из приведенных до сих пор соображений, казалось бы, с неизбежностью
вытекало: если держаться деления Канта и называть аналитическими суждениями
такие, в которых сказуемое необходимо мыслится в подлежащем, а
синтетическими такие, в которых сказуемое в подлежащем совсем логически не
подразумевается, – математические суждения принадлежат к разряду первых
(потому что их мы открываем не-посредственным усмотрением), а ко второму
относятся только чисто эмпирические суждения. И далее: между объясняющими и
расширяющими суждениями нельзя положить непроходимых граней.10
Кант приходит к заключениям прямо противоположным, и в этом никак нельзя
видеть только плод недоразумения. Ланге11 вполне прав, когда находит
сходство в представлениях о происхождении математических истин между Кантом
и Миллем, несмотря на радикальное различие окончательной оценки этих истин.
Во всех рассуждениях Канта о математическом познании мысль о решительной
противоположности усмотрения из понятий и выведения из воззрений является
исходным предположением, хотя нигде не доказанным, но никогда не забываемым:
он принципиально упускает из виду интимную и нерасторжимую связь между теми
и другими в математических выводах. [….]
С этой стороны теория Канта вызывает те же самые возражения, как и
объяснение Милля: если настоящий двигатель математических заключений
[содержится] в операциях над частными представлениями, если эти операции
дают результаты синтетические (в которых отсутствует усмотрение
логически-самоочевидной связи между входящими в них терминами), как мыслимы
осознаваемая нами всеобщность и необходимость математических истин? [….]
Когда Кант априорными основаниями восприятий чувственного опыта признаёт
только его чисто-формальные начала, – пространство и время, – он явно не
исчерпывает суммы действительных условий возможности опыта. Приписывать
безусловно априорный характер формам воспринимаемого мира и совершенно
лишать всякого априорного элемента тот материал, который в эти формы
вкладывается, есть несомненная натяжка. Против этого говорит уже тот
неоспоримый психологический факт, что все наши представления о времени и
пространстве развиваются в тесной связи с качественным содержанием наших
ощущений. Рассматривать это качественное содержание, как что-то целиком
привносимое в наше сознание извне, было бы самым несообразным толкованием.
Основные ощутимых качеств. Но то, что являются они, а не что-нибудь другое,
обусловливается исключительно непосредственным творчеством духа и не находит
себе никакого объяснения в процессах внешних. ..[….] различия наших
ощущений, – не менее пространственных и временных определений наблюдаемых
феноменов,– выражают изначальные способы нашего воспринимающего существа
отвечать на внешние возбуждения. Эти способы не суть порождения опыта, но
условия его возможности, потому что все вещи доступны для нашего восприятия
лишь настолько, насколько они отразились в свойственных нам ощущениях. Что
движение эфира [19] и его воздействие на зрительный нерв являются нашему
сознанию под видом цветов, что молекулярный процесс в обонятельных нервах
обнаруживается для нашего воспринимающего субъекта в запахах, для этого
нельзя указать основания в объективной физической природе указанных
процессов. [….]… Объяснения чувственного разнообразия воспринимаемых
объектов нужно искать в природе нашего духа, который именно в этих, а не
других формах реагирует на впечатления извне. Как дух всё наблюдает во
временной последовательности и пространственной совместности, так он не
может воспринять внешний мир, не окрасив его, не наполнив звуками, запахами
и другими чувственными качествами. Эти качества, в своих специфических
особенностях, представляют всецелое создание духа; тогда как защищаемая
Кантом безусловная идеальность пространства, а тем более времени, едва ли
может быть мыслима без внутреннего противоречия. Дух все видит через
собственную призму; если пространственность и временность можно считать
способами восприятия вещей, это тем более относится к чувственному
содержанию воспринимаемых свойств. От внешнего опыта, т. е. от законов
внешнего мира, может зависеть только порядок появления
Отчего же Кант так решительно противополагает формы и материал опыта в их
отношении к априорным источникам познания? Потому что если сферу априорного
расширить до ее настоящих пределов, станет совсем ясным, что самоочевидность
математических познаний ни в какой прямой связи с независимостью
пространства и времени от опыта не находится. [….]
Почему же истины, касающиеся формальных отношений в пространстве и времени,
являются очевидными помимо опыта и его предупреждают? Предшествующие
соображения заставляют думать, что это обусловливается вовсе не априорностью
способов нашего познания как таковою, а исключительно логическим содержанием
того, что из них получается, как бы оно в нас ни возникло. По-видимому,
единственная причина очевидности математических положений должна заключаться
в том, что Кант решительно отрицает: математические истины представляют
продукт не слепых воззрений […], а содержательных понятий, в которых
воззрение вполне растворилось в мысли.
Для Канта пространство и время суть чистые представления или воззрения. В
пользу такого вывода он высказывает следующие основания: 1) пространство и
время не даются опытом, а напротив им предполагаются; 2) они не суть общие
понятия; 3) они не суть свойства, отвлекаемые от явлений, потому что ими
всякие свойства обусловливаются, и их нельзя изгнать из нашего ума никакими
усилиями.
[….] Чтобы опыт, как мы его знаем, мог получиться, нужно, чтобы в нашей
психической организации была заложена готовность воспринимать его основные
отношения, – вот истина, значение которой никто не осветил ярче Канта. Но
далее подымается вопрос: что же собственно предполагается опытом? Присущая
ли нашей природе неизбежность все воспринимать в раздельных рядах,
представляя все вещи подле или после друг друга,– или ясно существующие в
уме, сразу и с самого начала данные идеи о пространстве и времени, с какими
имеет дело математика?
[…] Необходимость и всеобщность математических познаний коренится в способах
рассмотрения содержания математических представлений, а вовсе не в
происхождении этих представлений. [….] Всеобщность математических истин
зависит не от того, что в наших идеях о пространстве и времени нет никаких
эмпирических примесей, а от того, что в математике мы исследуем не факты в
их чувственно наблюдаемых внешних связях, а типические формы количественных
свойств в их самоочевидных умопостигаемых отношениях. [….] Говоря иначе,
пространство и время, поскольку они рассматриваются в математике, не суть
то, что в нас существует a priori, но представляют порождения разнообразных
и сложных творческих процессов нашей мысли. [….]
Математика и метафизика.
Таким образом ни эмпирические гипотезы, приводящие математические истины
к уровню индуктивных обобщений, ни попытки указать для них особый
сверхъопытный, но в то же время и сверхлогический источник (к чему, в
сущности, сводится замысел Канта в его учении о синтетических актах
воззрения), не раскрывают и не обосновывают подлинной природы математических
выводов. Соображения, изложенные до сих пор, решительно заставляют признать:
1) что математика не есть знание фактов в их эмпирически данных сочетаниях,
– предмет ее исследования типические идеальные концепции всеобщих
возможностей всякого количественного бытия; 2) что заключения математики
обусловливаются умственным усмотрением самоочевидных отношений между
количественными свойствами, понятыми в их всеобщем значении, причем никакого
другого двигателя для порождения математических познаний придумать нельзя.
Указание важной роли наглядных представлений в происхождении математических
истин вопроса о математике вовсе не разрешает и никак не уполномочивает
видеть в ней систему чисто аналитических суждений: без воззрительного
элемента, в широком смысле этого слова (т. е. без отношения нашего ума к
какому-нибудь положительному содержанию нашего сознания), ни одно суждение
не обходится. А чтобы в математике воззрительного элемента было больше, чем
в других идеальных построениях нашей мысли, это весьма сомнительно в виду,
напр., существования абстрактной геометрии или некоторых высших отделов
чистой математики. Трудно спорить, что в них воззрительный элемент сведен на
крайний minimum. Логическое совершенство математики поэтому едва ли зависит
от избытка наглядности (т. е. отчетливости для воображения) тех воззрений, с
которыми она обращается; его объяснения скорее нужно искать в простоте этих
воззрений, – лучше сказать в простоте, однообразии, отвлеченной ясности и
самоочевидной объективной связности признаков, для знакомства с которыми
воззрения доставляют лишь наглядный материал.
Итак, математика есть знание идеальное, другими словами – умозрительное; ее
коренной метод тот же, как и во всех идеальных утверждениях вообще, – ее
выводы строятся помощью очевидного усмотрения познаваемых отношений,
формальное правило которого дается нам в законе противоречия. И тем не менее
истины математики обладают неограниченною реальною приложимостью, если
только мы не хотим искажать их оценку предвзятыми и психологически
не-состоятельными гипотезами. Существование математики есть вековечный
образец великой мощи человеческого разума в его свободной творческой
деятельности.
Метафизику также определяют как плод умозрения, и трудно в ней видеть
что-нибудь другое. Бесспорно, задачи, с которыми она имеет дело, очень
важны; мы могли даже убедиться, что без положительного разрешения по крайней
мере некоторых из них вся опытная наука должна поколебаться в своих наиболее
существенных основаниях и потерять устойчивость своих обобщений. Вопрос о
возможности метафизики далеко нельзя считать праздным; его рано еще
признавать и раз навсегда поконченным. Поэтому сомнение, которое мы
высказали раньше, сохраняет полную силу: только ли в сфере изучений
количественных отношений умозрение способно достигать прочных и достоверных
приобретений? Или между количествами и другими признаками предметов нельзя
положить непроходимой бездны? В математике, исследуя возможное, мы познаем в
то же время действительное, и об этом свидетельствует самоочевидное
распространение мыслимых количественных определений на все реальное. В
области суждений об общих условиях всякой возможной деятельности, не
способны ли мы также прийти к некоторым всеобщим утверждениям, идеальная
достоверность которых была бы очевидна? С другой стороны, эти суждения не
должны ли обладать реальным значением в силу самоочевидного соответствия
рассматриваемых умозрительных определе-ний, служащих для нашей мысли
исходными пунктами, с признаками действительно существующего, как мы его
непосредственно испытываем в нашем сознании? Система таких истин составила
бы метафизику в том смысле, как определял задачу первой философии еще
Аристотель: это была бы наука о сущем как таковом, т. е. о всеобщих условиях
самой возможности быть действительным [20]. [….]…
Можно ли указать (с полною достоверностью или только вероятностью, – пока
решать не будем) какие-нибудь условия действительного бытия вообще? Можно ли
с этими условиями поставить в понятную для разума связь непосредственно
сознаваемое нами содержание нашего опыта? Чтобы ответить на эти два вопроса,
очевидно сначала нужно разрешить следующий: какая бы то ни было
обусловленность вообще есть ли понятие о чем-нибудь реальном или только наше
субъективное предположение, и если идея о нем имеет объективную силу, то до
каких пределов?
Реальная обусловленность вещей представляется нам прежде всего как присущая
им причинность (т. е. их связь между собою и зависимость от них нашего
опыта). Поэтому вопрос о законе причинности должен иметь решающее значение
для возможности положительных метафизических построений. Слишком ясно: если
причинность не есть подлинное и реальное свойство вещей, то мы не можем
утверждать их бытия, потому что от субъективного мира нашего сознания к ним
нет тогда никакого перехода; мы не можем ничего и проблематически сказать о
них, потому что, при отсутствии реальных отношений и связей между ними, они
во всех своих элементах должны представлять нечто безусловно индивидуальное,
в себе замкнутое, стало быть, не подлежащее всеобщим логическим определениям
[21].
Подстрочные примечания
1 Nouveaux essais, liv. IV, chap. XI [5].
2 System of Logic. Vol. I, book II, chapt. V, VI, VII [7].
3 System der Philosophie. S. 191 [8].
4 Kritik der reinen Vernunf. Einl. IV [9].
5 Ibid. II [10].
6 Ibid. Die transcendentale Aesthetik, §2 [12].
7 §4 [13].
8 Prolegomena, §10 [14].
9 В die transc. Logik. Einl. I, даже доказывается тезис, в сущности прямо
противоположный: мысли без содержания пусты, воззрения без понятия слепы
[16].
10 Это соответствует и существу дела: что потенциально подразумевалось в
понятии, но не понималось в нем, а потом нашею мыслию было усвоено, – для
этой усвоивающей мысли есть нечто новое, расширяющее наше актуальное
познание. С этой точки зрения, характеристика Аристотеля (Met. IX, 9)
процесса математических заключений: «таким образом, очевидно, что сущее в
возможности обнаруживается через деятельность. И причина этого – то, что
мышление есть деятельность» – заслуживает весьма серьезного внимания [17].
11 Geschichte des Materialismus, 1877, II, S. 27 [18].
Примечания
Публикация под редакционным названием «Математика и метафизика»
составлена из соответствующих разделов первой главы второй части
«Положительных задач философии» (М., 1891, С. 54–103). Отмечены все
сделанные составителем сокращения и уточняющие фразы (последние помещены в
фигурные скобки).
1. Л. М. Лопатин заканчивает предшествующий раздел вопросом о том,
являются ли математические истины «фактическими» (эмпирическими) или
«идеальными», то есть, соответствуют ли этим истинам реальные вещи или,
напротив, идеальные построения человеческого разума. Не повторяя этот
вопрос, Лопатин начинает данный раздел со слов «Было время, когда на него
отвечали…».
2. Лопатин цитирует основное сочинение Джона Локка «Опыт о человеческом
разумении». См. Локк Д. Сочинения в трех томах. Т. I. М. 1985.
3. «Наведение» – синоним индукции, от лат. induco – наводить (ср.
«электрическая индукция» – наведение электрического заряда).
4. Августин Аврелий (354–430). Христианский богослов и философ, в сочинениях
которого («О Троице», «О Граде Божием») содержатся первые ясные указания на
абсолютную достоверность самосознания. Согласно примечаниям к изданию
сочинений Лейбница, указанному ниже, в данном случае Лейбниц имеет в виду
«Монологи» блаж. Августина.
5. «Новые опыты о человеческом разумении» (книга четвертая, глава XI). См.
Лейбниц Г. В. Сочинения в четырех томах. Т. 2. М. 1983. С. 458–460.
6. См. Юм Д. Сочинения в двух томах. Т. 2. М. 1966. С. 27. Более точное
название работы Д. Юма – «Исследование о человеческом познании».
7. Милль (Mill) Джон Стюарт (1806–1873). Английский философ, логик и
экономист, развивал идеи позитивизма в сочетании с традиционным английским
эмпиризмом. Лопатин цитирует его основное сочинение «Система логики»
(2т.,1843; лучший рус. пер. В. Ивановского,1914).
8. Вундт (Wundt) Вильгельм (1832–1920). Немецкий философ и психолог, автор
десятитомной «Психологии народов». Лопатин цитирует его «Систему философии»
(1889, рус. пер.1902).
9. «Критика чистого разума» Введение. IV. См. Кант И. Сочинения в шести
томах. Т. 3. М. 1964. С. 111–112.
10. Там же. С. 107.
11. Дискурсивное мышление (от лат. discursus – рассуждение) подразумевает
логический переход от одного суждения к другому, установление связи между
понятиями (а не «воззрение», то есть не созерцание идей, например, «идеи
треугольника»).
12. «Трансцендентальная эстетика» – часть «Критики чистого разума»,
содержащая учение Канта о пространстве и времени как «формах созерцания».
См. указанное в прим. [9] изд., с.129 и далее.
13. См. там же. С. 135 и далее.
14. Лопатин ссылается на работу И. Канта «Пролегомены ко всякой будущей
метафизике, могущей появиться как наука». См. указ. изд., Т. 4(1), с.98–99.
15. Как уже отмечалось, более принято переводить этот термин как
«созерцание».
16. «Трансцендентальная логика» – часть «Критики чистого разума», содержащая
учение Канта о «формах мышления». Приведенный Лопатиным знаменитый «тезис»
Канта см. в указ. изд. на с. 155.
17. Метафизика. 1051а 25–30. См. Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т.
I. М. 1976. С. 249. У Лопатина соответствующая цитата приведена на языке
оригинала.
18. Ланге (Lange) Фридрих (1828–1875). Немецкий философ-кантианец, автор
капитального исследования «История материализма и критика его значения в
настоящее время (2 т., 1866; рус. пер. 1883).
19. Ясно, что аргументация Лопатина не изменится, если вместо эфира говорить
об электромагнитных полях или волнах.
20. См. Аристотель. Указ. изд. С. 182.
21. Далее Лопатин переходит к анализу «закона причинности», основу которого
он видит в деятельной, активной природе духовно-душевного бытия, данного нам
непосредственно во внутреннем опыте. См. раздел «Достоверность внутреннего
опыта» и предисловие к публикациям Л. М. Лопатина в данном номере.
Здесь читайте:
Лопатин, Лев
Михайлович (1855–1920), русский философ.
Л. М. Лопатин.
Сомнение, достоверность и творчество.
Из «Положительных задач философии». Публикация, составление и примечания Н.
П. Ильина.
Николай Ильин. Дух как
союзник души. К 150-летию со дня рождения Л. М. Лопатина.
|
